수열의 수렴과 발산

수학에서의 발산은 다양한 의미로 사용된다.

크게는 함수의 극한에서 어떤 값에 수렴하지 않고 무한히 커지거나 작아지는 경우,

또는 벡터 미적분학에서 벡터장의 흐름이 퍼져나가는 정도를 나타내는 경우 등으로

나눌 수 있다.

 

이에 비해서 수렴은 함수 y=f(x)에 대하여

x값이 어떤 값에 한없이 가까워질 때에

f(x)가 한없이 가까워지는 값을 의미한다.

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해당 관련 영상을 보면서 수렴과 발산을 정리해보자,

위의 예제는 1~부터 무한대로 값이 변하는 수열과 그에 해당하는 그래프를 나타내었다.

이미지에는 다음과 같은 수열 및 급수의 정의가 포함되어 있습니다:

1. 수열의 정의:

{an}n=1∞withan=1n⋅(−1)n+1\left\{ a_n \right\}_{n=1}^{\infty} \quad \text{with} \quad a_n = \frac{1}{n} \cdot (-1)^{n+1}{an​}n=1∞​withan​=n1​⋅(−1)n+1

이는 항 ana_nan​이 다음과 같이 정의된 수열입니다:

an=(−1)n+1na_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n}an​=n(−1)n+1​

2. 급수 표현:

∑n=1∞an=∑n=1∞(−1)n+1n\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}n=1∑∞​an​=n=1∑∞​n(−1)n+1​